قناعة رياضية / السريالية والرياضيات / پيير باتيو /ترجمة محسن البلاسي

قناعة رياضية

«جوهر الرياضيات هو الحرية»

جورج كانتور

قال صديق إن الرياضيات بسيطة ، لأنك دائمًا ما تتقدم فيها من الدليل إلى الدليل التالي … لكن ما هو الدليل باستثناء شيء مثل الفلاش.

هل تعتقد أنني أبالغ؟ قد يكون الأمر كذلك ، لكنني لست وحدي. أتذكر كتابًا لمارتن غاردنر بعنوان
Haha ou l’éclair de la Includéhension mathématique.

كيف يمكن أن يكون “الفكر العقلاني” الثقيل والمنهجي
مسؤولاً عن ومضات العقل؟

دعنا ننتقل – للحظات … للبراهين المركزية في الرياضيات. ليس فقط لأنها تشكل دليلاً على ما هو مقترح ، ولكن أيضًا (وقبل كل شيء!) لأنها تشكل الروايات التي يتم من خلالها نشر أفكار الرياضيات.
لأن أي رياضيات هي أولاً وقبل كل شيء قصة مغامرة فكرية لمؤلفها. هذا صحيح لدرجة أنه في كثير من الأحيان لا يكون الدليل الأول الذي يقدمه مؤلف النظرية بالضرورة إما نهائيًا أو أبسط دليل عليها.
البرهان الرياضي ، بالطبع ، هو أيضًا مسرح يهدف إلى إقناع القارئ والعالم بأسره بعيدًا عن القارئ. العالم كله ، نعم ، لأنه لا توجد حقيقة بشرية بدون إجماع الأنواع بأكملها. إجماع الأنواع بأكملها ، في المطلق فيما يتعلق بالرياضيات ، ولكن في الممارسة ، بالطبع ، من خلال التفويض إلى مجتمع علماء الرياضيات. ومع ذلك ، قبل الوصول إلى هناك ، يجب أولاً وقبل كل شيء إقناع هذا القارئ الأول وهو المؤلف نفسه. قال جورج كانتور عن حقيقة وجود العديد من النقاط في خط مستقيم واحد كما هو الحال في كل الفضاء (قد يكون مساحة ثنائية الأبعاد وثلاثية الأبعاد ورباعية الأبعاد “أراها ولكني لا أصدقها” ، او اكثر…)
العناصر التي تم توضيحها والتي يعتمد عليها تقدم الدليل الرياضي ، “و” ، “أو” ، “لا” ، “ثم …” ، “لذلك …” ، “للجميع … مثل … “،” يوجد … واحد على الأقل … مثل … “، هي علامات ترقيم في حركة الفكر ، لكنها ليست فكرة بحد ذاتها. والدليل على ذلك هو أنه في حين أن هناك برامج مستخدمة لإثبات النظريات ، فلا أحد يستنتج من القليل الذي تفكر فيه هذه البرامج.
ومع ذلك ، من اللافت للنظر أن البرهان الرياضي ، الذي ربما يكون أكثر الأعمال الاجتماعية البارزة لعالم الرياضيات ، يمكن أيضًا تنفيذه عن طريق الآلات. من دون أن أكون قادرًا على شرح ذلك بوضوح ، يبدو لي أن هذا يقول شيئًا غريبًا عن الأمور الاجتماعية – أو ربما على الأقل حول اللغة. هل التقنية مخفية بالكامل في اللغة؟ هل كانت اللغة كامنة بالفعل داخل التقنية؟ هل كلاهما في الواقع مدفون ضمنيًا في المجتمع ، كما اقترح في مكان ما “بياجيه” ، الذي يشير إلى أن العمليات الرياضية الأولية المشتركة لها نظيرتها في العلاقات الاجتماعية أثناء العمل أو اللعبة الجماعية؟
من المدهش أيضًا أن الأفكار الرياضية ، على الرغم من أنها غالبًا ما تكون مشتقة بعمق من القياس – على سبيل المثال يخبرنا
Henri Lebesgue
، الذي اخترع نظرية التكامل التي تحمل اسمه أثناء أحلام اليقظة حول بلاط السقف – يتم التعبير عنها بالمصطلحات في الرياضيات. (وهذا على ما يبدو تمامًا. لكن هل نحن على يقين من أنه يتم التعبير عنها تمامًا بهذه الطريقة؟) من خلال منطق البرهان الرياضي الذي يبدو ، بعد كل شيء ، أنه مجرد لعبة لغوية خالصة.
لكن ماذا يحدث في الثقوب والأجواف في النحو؟ لكي يكون البرهان الرياضي صالحًا ، يجب على العوامل المنطقية أن تعبر عن شيء ما. ويجب أن تكون هذه “بعض الأشياء” التي أوضحتها الروابط المنطقية صحيحة. ولكن ماذا تعني كلمة “صواب” ، ما لم يتم تمييزها بختم الدليل (الحدس ، كما يقول ديكارت)؟ وهذا يعني ، من الأحداث الصغيرة جدًا للعقل ، الأحداث “الفوق عقلية ” بطريقة ما ، ولكن لكونها أحيانًا درجة الصفر من الإبهار (أو ومضات ذات نطاق أوسع بكثير) ، فإنها مع ذلك من نفس طبيعتها . كل الأدلة ، أي دليل ، مهما كان صغيراً ، مبني على قناعة شخصية. بعبارة أخرى ، عن اهداء وحدس العقل.
وهكذا ، في البرهان الرياضي ، تمامًا كما في الصورة الشعرية ، إما أن يحدث حدث عقلي في ذهن القارئ ، أو لا يوجد دليل على الإطلاق. والدليل في لحظة نشاطه يقول: “هذا هو!”. ولكن من يستطيع ، في هذه اللحظة الحرجة ، أن يحدد ما يتكون منه “كل هذا” وماذا تتكون في الواقع؟ في صميم البرهان ، ما لا يوصف ، غير قابل للاختزال. ومع ذلك ، لن أعود هنا إلى الحدس أكثر من الحدس الذي يجذب عادة الرياضيات. لا أقل أيضًا. كل شيء عن العقل البشري هنا. باطني أم لا.
إلى جانب ذلك ، حتى عندما يكون محوسبًا ، أين يكمن الدليل؟ هل هو في الجهاز الذي من المحتمل أن يؤسسه؟ من المشكوك فيه. لأن الآلة لا تعرف حقًا أي شيء عما تفعله. لا ، الدليل النهائي موجود في قناعة علماء الرياضيات ، – ويجب أن نتذكر لأن عظمة الرياضيات هنا – لأي شخص صادف أنه قادر على إصدار حكم بشأن هذا الاحتراف